jueves, 24 de noviembre de 2011

Definición, tipos y propiedades

Cuadriláteros: son polígonos de cuatro lados.

Clasificación:

Los paralelogramos son los que tienen los lados opuestos paralelos, dos a dos. Se clasifican en cuadrados (tienen los cuatro lados iguales y forman entre sí 90°), rectángulos (tienen cada conjunto de dos lados iguales y paralelos y forman todos entre sí 90°), rombos (tienen cada par de lados iguales entre sí alternando un ángulo igual y otro desigual. Sus diagonales son distintas y perpendiculares) y romboides (tienen cada par de dos lados iguales y paralelos, sus diagonales son distintas, y no forman 90° entre ellas).

Trapecios son los cuadriláteros que tienen dos lados paralelos entre sí. Se clasifican en rectángulos (tienen dos lados paralelos y dos ángulos rectos, sus diagonales son distintas y oblicuas), isósceles (tienen dos lados paralelos y sus ángulos son iguales dos a dos, sus diagonales son oblicuas e iguales) y escalenos (tienen los ángulos distintos y dos lados paralelos, sus diagonales son distintas y oblicuas).

Trapezoides son los que no tienen ningún lado paralelo.

Cuadrados


Un cuadrado es una figura formada por cuatro lados iguales.

Si como dato del cuadrado tenemos la diagonal e basta con hacer una circunferencia c tomando como centro el punto medio de la misma y como radio la mitad de la diagonal. Haciendo por el punto medio una recta perpendicular a a la diagonal dada, obtenemos en los dos puntos de intersección con la circunferencia los nuevos puntos del cuadrado.



Para construir un cuadrado dado el lado, hacemos centro en el punto medio M del lado dado tomando como radio la mitad del mismo MN, de esta manera hacemos la circunferencia c. Con el mismo radio hacemos otra circunferencia tomando como centro el punto N, ésta circunferencia b corta a la anterior en el punto O. Hacemos ahora centro en este punto y con el mismo radio otra circunferencia e que corta a la circunferencia b en el punto T. Haciendo por último centro en este punto T y con el mismo radio obtenemos una nueva circunferencia d que corta a la última e en el punto R. la recta que incide en los puntos N R es una porción del lado del cuadrado ortogonal al dado N M, para saber cuál es su punto final basta con hacer una circunferencia de centro N y radio el del lado del cuadrado, donde ésta corte a la línea RM tenemos el lado del cuadrado. Los otros dos lados del cuadrados se obtienen haciendo por los extremos de los lados que ya tenemos dos rectas perpendiculares a ambas.




Para construir un cuadrado c dada la diagonal más el lado, en el dibujo representado por la recta a, dibujamos un cuadrado m y su diagonal d, haciendo centro en el extremo inferior K de esta diagonal y tomando como radio la dimensión de la diagonal hacemos un arco hasta que corte a la prolongación de la base del cuadrado, de esta forma hemos obtenido d’, representado en el segmento de color rojo, la dimensión correspondiente al lado más la diagonal de un cuadrado cualquiera.

A continuación basta con transformar este segmento d’ en el segmento dado a mediante una homotecia de centro O, alineando cada uno de los puntos de la figura superior obtenemos mediante paralelas las dimensiones del cuadrado c, proporcional al anterior.

Rectángulos






Para construir un rectángulo dados los dos lados a b, se colocan ambos ortogonalmente a partir del inicio de sus extremos y a continuación por cada uno de los otros extremos se hacen rectas paralelas c d a ambos, estos nuevos lados son en consecuencia también ortogonales.



Para construir un rectángulo dada la diagonal d y uno de los lados a, hacemos centro en el punto medio de la diagonal y construimos una circunferencia c cuyo diámetro sea la diagonal misma. En el extremo de la diagonal V colocamos el otro segmento a y hacemos centro en ese mismo punto tomando como radio del mismo el lado a y generando un nuevo arco que corta a la circunferencia en el punto J, el simétrico central Ñ de este punto J respecto al centro de la circunferencia es el otro vértice del rectángulo a determinar.

Rombos



Un rombo es una figura formada por cuatro triángulos rectángulos unidos por los vértices que están en ángulo recto. Si los cuatro lados del rombo tienen la misma dimensión la figura es un cuadrado. En un rombo los ejes de simetría siempre son ortogonales. Para calcular un rombo dados los dos ejes de simetría a b simplemente se unen los extremos de los mismos obteniendo así la figura MNPO. Si el dato que dan del rombo es un eje de simetría a, dos puntos MN y otro de los vértices O, simplemente se hace el simétrico P de este vértice respecto al eje a, obteniendo así el punto que falta.




Para calcular un rombo dado un segmento a y el ángulo adyacente g, se hace la bisectriz b de este ángulo g y por el extremo E del lado dado a se hace una recta perpendicular a la bisectriz obteniendo el vértice simétrico p. Haciendo centro en la intersección de la perpendicular y la bisectriz y tomando como radio la distancia desde este punto hasta el vértice O hacemos una circunferencia c que corta a la bisectriz del punto L, obteniendo de esta forma la figura.



Romboides

un romboide es un cuadrilátero que tiene sus lados paralelos dos a dos: el segmento o es paralelo al segmento p y el segmento m es paralelo al segmento n, sin ser ortogonales entre sí.
Dos segmentos consecutivos de la figura (por ejemplo los segmentos o n) nunca son iguales, si lo fueran tendríamos un rombo, de ello se desprende que sus ejes de simetría nunca son ortogonales.
Un romboide siempre se puede inscribir en un rectángulo de manera que los triángulos sobrantes (en color verde) se pueden transformar uno en el otro mediante una simetría central.

Trapecios





Un trapecio es un cuadrilátero formado por dos bases paralelas a b de distinto tamaño. Se transforma en un rombo cuando las dos bases tienen el mismo tamaño y en un rombo cuando los cuatro lados son iguales dos a dos, los correspondientes al ángulo adyacente que tienen cada par de segmentos.
Un trapecio isósceles es aquel que tiene dos lados cd iguales. Éstos lados iguales son simétricos respecto a un eje de simetría h que incide por los puntos medios de las bases ab de la figura.




Para calcular un trapecio isósceles dadas las dos bases a c y uno de los segmentos b, desplazamos la base a través del eje de simetría, estando ambas centradas sobre el eje, hasta que corta al lado b que gira tomando como centro la intersección H de los dos segmentos ab. La intersección del arco g de circunferencia del giro de este segmento b con el extremo de la otra base c determina el punto K, vértice de la figura que queríamos calcular, el otro vértice será el punto c' que es el simétrico del punto K respecto al eje de la figura.

Trapezoides




Un trapezoide es un cuadrilátero formado por cuatro segmentos desiguales.














Dadas las 2 diagonales  de un trapezoide -Rectas de color rojo b y verde c del rectángulo uno- y dos lados opuestos -rectas negra a y azul d del mismo rectángulo-, se pide calcular la figura.
Tenemos que construir la figura dos, para ello procedemos conforme a la figura de la derecha:
dibujamos la recta a y a continuación en sus extremos tomando como centros KM hacemos las dos circunferencias roja y verde con los radios correspondientes a las diagonales dadas bc.
Dibujamos las dos diagonales con cualquier inclinación pero pasando por los puntos KM, respectivamente, y en el extremo de la verde hacemos una circunferencia de centro Ñ y radio el correspondiente al lado d. La intersección de la circunferencia azul y roja determina el punto O.
Los cuatro puntos MÑKO definen la figura buscada cuyas bases no dibujadas en la figura para no complicarla más serían la unión de los puntos KO y de los puntos ÑM, quedando como en la figura dos.